MATRIK

1. Matriks 
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks.
Secara umum matriks dapat ditulis dengan :


Dalam hal ini a_ij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Beberapa Jenis Matriks 

(i) Matriks Nol (0)

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

(ii) Matriks bujur sangkar

Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iii) Matriks Bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iv) Matriks Diagonal

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.

(v) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. 

(vi) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.


3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan atau pengurangan matriks

Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. 


Sifat-sifat:


c. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).

Jika diketahui Matriks A_mxn dan B_nxk maka : 



4. Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan A^Tatau A^t. 


Sifat : (A^T) ^T = A

5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom). 


Sifat-sifat determinan matriks:



6. Invers matriks
Bila  maka invers dari A adalah :

Syarat ad-bc  0

Contoh :

Jawab:

Sifat-sifat :

persamaan linier

Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.

• Eliminasi
• Substitusi
• Grafik
• Matriks Invers
• Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x

+

y

−

z

=

1

(1)

× 3

3x

+

3y

−

3z

=

3

(1)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

-------------------------

-

−5x

+

3z

=

2

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

+

2z

=

2

(4)

× 3

−9x

+

6z

=

6

(4)

−5x

+

3z

=

2

(5)

× 2

−10x

+

6z

=

4

(5)

-------------------------

−

x

=

2

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z    (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5    (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y – 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

---

Metode Matriks Invers

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3

x y z

=

1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A−1AB	=	A−1C
B	=	A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A−1 =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5
B =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5	1 1 1
B =	2 3 4

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

---

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =	1 1 -1 1 8 3 -6 1 -4 -1 3 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =	1 0,375 -0,75 0,125 0 1 -0,4 1,4 0 0 1 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.

Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.