Persamaan
Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x
mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹
0
a, b dan c adalah bilangan real.
- 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)
memfaktorkan,
b)
melengkapkan kuadrat sempurna,
c)
menggunakan rumus.
1.
a.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2)
= 0.
Nilai x1
dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh
1 :
Selesaikan
x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x
– 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi,
penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh
2 :
Tentukan himpunan
penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab:
(x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x
+ 4 = x – 2
x2 – 5 x
+ 6 = 0
(x
– 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3
atau x = 2
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh
3 :
Tentukan
penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab:
2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2
+ 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x
(x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x
+ 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 =
0
x = –2
atau x = – 1
Jadi,
penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
- b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c =
0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya
menjadi (x + p)2 = q.
Contoh
1:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x
+ 9 – 4 = 0
x2 – 6 x
+ 9 = 4
(x
– 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x
= 1
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh
2:
Tentukan
penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab:
2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2
– 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2
– 8 x + 8 = 1
2 (x2
– 4 x + 4) = 1
2 (x
– 2)2 = 1
(x
– 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi,
penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.
- c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian
persamaan kuadrat a x2 + b x +
c = 0 adalah
Contoh
:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = –
30
x = 3 atau x = –10
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
Latihan
1
- Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
- Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
- Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
- Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
- Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
- x2 – 3x + 2 = 0 f. –2x2 + 8x – 9 = 0
- 3x2 – 9x = 0 g. –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0
- 6x2 – 13x + 6 = 0 h. x2 – 2xÖ3 – 1 = 0
- 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x – 506 = 0
- 9x2 – 3x + 25 = 0 j. x2 – x + Ö2 = 2
- 2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
- (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0 d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya
45 cm2. Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita
perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c =
0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan
(D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis
sebagai .
Dari rumus
tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
1.
D > 0 maka ÖD
merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar
real berlainan, .
2.
D = 0 maka ÖD = 0,
sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.
.
3.
D < 0 maka ÖD
merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak
mempunyai
akar real
atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh
:
Tanpa
menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan
kuadrat berikut:
1.
x2 + 5 x
+ 2 = 0
2.
x2 – 10 x
+ 25 = 0
3.
3 x2 – 4 x
+ 2 = 0
Jawab :
1.
x2 + 5 x
+ 2 = 0
a
= 1 , b = 5
, c = 2
D = b2
– 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata
D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0
mempunyai dua akar real berlainan.
2.
x2 – 10 x
+ 25 = 0
a
= 1 , b = -10
, c = 25
D = b2
– 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena
D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0
mempunyai dua akar real sama.
3.
3 x2 – 4 x
+ 2 = 0
a
= 3 , b = –4
, c = 2
D = b2
– 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata
bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x
+ 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
Latihan
2
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
1.
x2 + 6x
+ 6 = 0
2.
x2 + 2x
+ 1 = 0
3.
2x2 + 5x +
5 = 0
4.
–2x2 – 2x –
1 = 0
5.
6t2 – 5t +
1 = 0
6.
4c2 – 4c +
3 = 0
2.
Tentukan nilai p agar
persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
1.
4x2 + 8px +
1 = 0
2.
4x2 – 4px +
(4p – 3) = 0
3.
px2 – 3px
+ (2p + 1) = 0
3. Persamaan x2 – 4px
– (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
- Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
- Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
3.
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx
+ c = 0
x2 +
x + = 0
Karena
x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
kuadrat, maka :
Jadi,
, .
Contoh:
Akar-akar
x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2.
Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
1.
x1 + x2
d.
2.
x1.x2
e. x13 + x23
3.
x12 + x22
Jawab:
x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1
, b = –3 , c = 4
a.
x1 + x2 = 3
b.
x1.x2 = 4
c.
x12 + x22 = x12
+ x22 + 2 x1.x2
– 2 x1.x2
=
(x1 + x2)2 – 2 x1
x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e.
(x1 + x2)3 = x13
+ 3 x12 x2 + 3 x1
x22 + x23
=
x13 + 3 x1 x2
(x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1
+ x2)3 – 3 x1 x2
(x1 + x2)
=
33 – 3 . 4 (3)
=
27 – 36 = –9
Latihan
3
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
- Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
- Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
- Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
- Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
- x2 – 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0
- 2x2 – 7 = 0 e.
- 4x2 – 3x = 0 f. (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2
- p2 + q2
- (p + 2) (q + 2)
- (p – 2q) (q – 2p)
Tentukan hubungan antara a
dan b jika diketahui xi2 – x1x2
+ x22 = 5.
4. Menyusun
Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun
dengan:
a.
menggunakan perkalian faktor,
b.
menggunakan jumlah dan
hasilkali akar-akar.
- a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada
bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x
+ q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x
– x1) (x – x2) = 0 sehingga
diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2.
Dengan demikian jika akar-akar
persamaan
kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x
– x1) (x – x2) = 0.
Contoh
1:
Tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:
(x – x1) (x – x2) = 0
(x
– 3) (x – (-2)) = 0
(x
– 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x
+ 2 x – 6 = 0
x2 – x
– 6 = 0.
Contoh
2:
Tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab:
(x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2
– 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2
– 5 x + 1 = 0
- b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan
.
Dengan
menggunakan x1 + x2 = – dan x1
x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2
= 0.
Contoh:
Tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab:
x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi,
persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0
atau x2 + 5x + 6 = 0.
- c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali
kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan
akar-akar persamaan yang lain.
Contoh
1:
Susunlah
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2
– 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal
akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1
dan x2. ® x1 + x2
= 2 , x1 x2 = 3.
Jika
akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p
= x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1
+ 3) + (x2 +
3)
p q = (x1 + 3) (x2
+ 3)
= x1
+ x2 +
6
= x1
x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2)
= 9 = 18
Persamaan
kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p
+ q) + pq = 0.
Persamaan
kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Contoh
2:
Susunlah
persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2
– 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan
akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1
dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a =
2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1
+ x2) = 2
a b = 2x1
. 2x2 = 4x1 x2 = 4 .
= 2
Persamaan
kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x
+ ab = 0.
Persamaan
kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 =
0..
Latihan
4
- Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
- Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Diketahui persamaan 2x2 – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- 1 dan 3
- 2 dan -4
- -1 dan -5
- –Ö2 dan 2Ö2
- (p + q) dan (p – q)
- (a + 1) dan (b + 1)
- (a– 3) dan (b– 3)
- 4a dan 4b
- –a dan –b
- (2a + 1) dan (2b + 1)
- a2 dan b2
- berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
- kebalikan akar persamaan yang diketahui.
0 komentar:
Posting Komentar