Metode
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Paling sedikit ada lima cara /
metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.
Sebagai contoh, marilah kita coba
untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
|
x
|
+
|
y
|
−
|
z
|
=
|
1
|
(1)
|
|
8x
|
+
|
3y
|
−
|
6z
|
=
|
1
|
(2)
|
|
−4x
|
−
|
y
|
+
|
3z
|
=
|
1
|
(3)
|
Metode
eliminasi
Metode ini bekerja dengan care
mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan
hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat
persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai
koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama.
Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1
untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk
menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
|
x
|
+
|
y
|
−
|
z
|
=
|
1
|
(1)
|
|
−4x
|
−
|
y
|
+
|
3z
|
=
|
1
|
(3)
|
|
-------------------------
|
+
|
||||||
|
−3x
|
|
|
+
|
2z
|
=
|
2
|
(4)
|
Perhatikan bahwa persamaan (4)
terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain
yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan
persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2).
Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3
masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan
3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).
|
x
|
+
|
y
|
−
|
z
|
=
|
1
|
(1)
|
× 3
|
3x
|
+
|
3y
|
−
|
3z
|
=
|
3
|
(1)
|
|
8x
|
+
|
3y
|
−
|
6z
|
=
|
1
|
(2)
|
8x
|
+
|
3y
|
−
|
6z
|
=
|
1
|
(2)
|
|
|
-------------------------
|
-
|
|||||||||||||||
|
−5x
|
|
|
+
|
3z
|
=
|
2
|
(5)
|
|||||||||
Dengan persamaan (4) dan (5), mari
kita coba untuk menghilangkan z.
|
−3x
|
+
|
2z
|
=
|
2
|
(4)
|
× 3
|
−9x
|
+
|
6z
|
=
|
6
|
(4)
|
|
−5x
|
+
|
3z
|
=
|
2
|
(5)
|
× 2
|
−10x
|
+
|
6z
|
=
|
4
|
(5)
|
|
-------------------------
|
−
|
|||||||||||
|
x
|
|
|
=
|
2
|
(6)
|
|||||||
Dari persamaan (6) kita dapatkan x
= 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke
persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
|
−3(2)
+ 2z
|
=
|
2
|
(4)
|
|
−6
+ 2z
|
=
|
2
|
|
|
2z
|
=
|
8
|
|
|
z
|
=
|
8 ÷ 2
|
|
|
z
|
=
|
4
|
Akhirnya, kita substitusikan
(masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.
|
2
+ y − 4
|
=
|
1
|
(1)
|
|
y
|
=
|
1 − 2 + 4
|
|
|
y
|
=
|
3
|
Jadi solusi sistem persamaan linier
di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode
substitusi
Pertama-tama, marilah kita atur
persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
x = 1 − y + z (1)
Sekarang kita substitusi x ke
persamaan (2).
|
8(1
− y + z) + 3y − 6z
|
=
|
1
|
(2)
|
|
8
− 8y + 8z + 3y − 6z
|
=
|
1
|
|
|
−5y
+ 2z
|
=
|
1 − 8
|
|
|
−5y
+ 2z
|
=
|
−7
|
(4)
|
Dengan cara yang sama seperti di
atas, substitusi x ke persamaan (3).
|
−4(1
− y + z) − y+ 3z
|
=
|
1
|
(3)
|
|
−4
+ 4y − 4z − y+ 3z
|
=
|
1
|
|
|
3y
− z
|
=
|
1 + 4
|
|
|
3y
− z
|
=
|
5
|
(5)
|
Sekarang kita atur persamaan (5)
supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
z = 3y − 5 (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z
ke persamaan (4).
|
−5y
+ 2(3y − 5)
|
=
|
−7
|
(4)
|
|
−5y
+ 6y – 10
|
=
|
−7
|
|
|
y
|
=
|
−7 + 10
|
|
|
y
|
=
|
3
|
Sekarang kita sudah tahu nilai dari y,
kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.
|
z
|
=
|
3(3) − 5
|
(6)
|
|
z
|
=
|
9 − 5
|
|
|
z
|
=
|
4
|
Akhirnya, kita substitusikan nilai
dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.
|
x
|
=
|
1 − 3 + 4
|
(1)
|
|
x
|
=
|
2
|
Jadi, kita telah menemukan solusi
untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.
Metode
grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier
dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang
planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam
sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik
potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat
sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.
|
x
|
+
|
y
|
=
|
3
|
(1)
|
|
2x
|
−
|
y
|
=
|
−3
|
(2)
|
Gambar kedua garis dari
persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di
atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini
adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y
= 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga
variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing
persamaan.
Metode
Matriks Invers
Sistem persamaan linier yang terdiri
atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan
bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut
|
|
=
|
|
Solusinya adalah matriks B.
Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari
persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers
dari matriks A.
|
A−1AB
|
=
|
A−1C
|
|
B
|
=
|
A−1C
|
Sekarang, untuk mencari B
kita perlu mencari A−1. Silakan
melihat halaman tentang matriks
untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.
|
A−1 =
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
B =
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
B =
|
|
Jadi solusinya adalah x = 2, y
= 3, z = 4.
Metode ini dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di
atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
Eliminasi
Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan
Sistem persamaan liniear yang
terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk
matriks teraugmentasi A seperti berikut
|
A =
|
|
Dengan melakukan serangkaian operasi
baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk
menjadi matriks Eselon-baris.
|
A =
|
|
Kemudian kita bisa substitusikan
kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel.
Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga
matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan
Eliminasi Gauss-Jordan).
|
A =
|
|
Dengan melakukan operasi Eliminasi
Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada
kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.
Untuk melihat secara mendetil
operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.
0 komentar:
Posting Komentar